MATEMATICAS - CONJUNTOS

NOCION DE CONJUNTOS

CONJUNTOS

1. NOCIÓN DE CONJUNTOS

1.1. ¿QUE ES UN CONJUNTO?

Un conjunto es una agrupación de objetos, que poseen alguna característica en común. Pero no sólo nos referimos a cosas físicas, como lápices, libros, calculadoras, etc., sino también a elementos abstractos como números ó letras, entre otros.

1.2. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO

Notación conjunto es una manera de decir cuál está en un conjunto. El conjunto se nombra generalmente con una mayúscula como esto:

A = {definición del conjunto}

La definición del conjunto está dentro de las llaves: { }. Hay dos estilos de la definición del conjunto que pueden estar en llaves.

Lista: Si un conjunto tiene apenas algunos elementos, el conjunto puede ser definido enumerando todos los elementos:

B = {libro, lápiz, borrador}

En esta definición, el conjunto B tiene tres elementos: libro, lápiz, y borrador

Regla: Un conjunto se puede definir por una regla. Mientras que esta regla puede simplemente ser una oración por ejemplo {El conjunto de toda la roca en mi jardín.}, los símbolos de la matemáticas se utilizan típicamente:

C = { x | x ∈ ℕ, x < 20 }

Conjunto C contiene todos los números naturales menos de 20.

1.3. CARDINALIDAD

La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.

Ejemplos:

W = { $, %, &, /, ª }

El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 ( # = 5 )

Q =

El conjunto Q está formado por 3 elementos

# Q = 3

K =

El conjunto K tiene un elemento

# K= 1

1.4. REPRESENTACION GRAFICA DE UN CONJUNTO

Diagrama de Venn y entre llaves.

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.

En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3.

El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d.

Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves.

En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Otro ejemplo:

Por diagrama	Entre llaves
	S = {a, e, i, o, u} Se escribe una coma para separar los elementos.

1.5. RELACIÓN DE PERTENENCIA

La relación de pertenencia se presenta entre un elemento y un conjunto. Cuando un elemento cumple con la característica de un conjunto se dice que pertenece al
conjunto. El símbolo que indica pertenecía se escribe ∈.
Si un elemento no pertenece al conjunto se escribe el símbolo ∉.
En la relación de pertenencia, si “a” es un elemento del conjunto A, se denota: a ∈ A, y se lee: el elemento “a” pertenece al conjunto A.

La relación de pertenencia se da solo entre elemento y conjunto.
En caso contrario se dice que no pertenece (∉).

Ejemplo:

A = {2, 4, 6}

Observamos que:

2 pertenece a (2∈A)

7 no pertenece a A (7∉A)

Otro ejemplo:

ACTIVIDAD 1
"Vamos a practicar"

Ingresa al siguiente link http://creately.com/plans y realice los siguientes pasos:

1. Inicie sesión con la siguiente cuenta de correo y contraseña
Email: proyectodiliahumberto
contraseña: 123456789

2. Una vez iniciada sesión haga Clic en "Nuevo Documento", seleccione el tipo de diagrama "Venn Diagrams" asigne como titulo su nombre completo y haga clic en "Create Document"

3. Diseñe el conjunto A formado por los elementos 1 al 9
Diseñe el conjunto B formado por las vocales

CLIC EN ACTIVIDAD 2. QUIZ

ACTIVIDAD 2. QUIZ

Nocion de Conjuntos

Quiz

¿Cuál sería la notacion del siguiente conjunto: números impares menores que 13
1. A = {2, 3, 4, 7, 8, 10, 13}
2. A = {1,3,5,7,9,11}
3. A = {1,3,5,7,9,11,13}
4. A = {1,3,5,7,10,12}
¿Cual sería la notación del siguiente conjunto?: vocales abiertas de la palabra ESTUDIANTE
1. A = {e, i. u}
2. A = {a, e}
3. A = {e, u, a}
Seleccione la cardinalidad del conjunto B = {2,4,6,8,10,12,14}
1. 3
2. 6
3. 7
4. 8
Seleccione la cardinalidad del conjunto C = {c, a, r, l, o, s}
1. 6
2. 5
3. 7
Seleccione la cardinalidad del conjunto de números pares mayores que 6 y menores o iguales que 20
1. 5
2. 8
3. 6
4. 7
Determine la relación de pertenencia del conjunto A = {olla, licuadora, estufa, cuchillo, vajilla}, seleccione las dos respuestas correctas. Nota (E se lee “pertenece” y NE “no pertenece”)
1. licuadora E A
2. nevera E A
3. comedor E A
4. lavadora NE A
Determine la relación de pertenencia del conjunto A = {ingeniero, policia, abogado, enfermera}, seleccione las dos respuestas correctas. Nota (E se lee “pertenece” y NE “no pertenece”)
1. bombero E A
2. abogado NE A
3. policia E A
4. arquitecto NE A

DETERMINACION DE CONJUNTOS

2. DETERMINACIÓN O DEFINICIÓN DE UN CONJUNTO

2.1. POR EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN

Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos.

Existen dos maneras de definir un conjunto dado:

2.1.1.Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.

2.1.2.Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).

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Por comprensión	Por extensión
A = {Números dígitos}	A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {Números pares]	B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {Múltiplos de 5}	C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

2.2. RELACION ENTRE CONJUNTOS

SUBCONJUNTO

Para representar que un conjunto es subconjunto de otro usamos este símbolo que tiene la forma de una U acostada y subrayada.

Sean los conjuntos A={ 2,4,6,8,} y B={ 0,1, 2, 3,4, 5,6,7,8.9 }

En este caso decimos que A esta contenido en B, o que A es subconjunto de B. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A lo es de B también.

2.3. TIPOS DE CONJUNTOS

Existen dos tipos de conjuntos:

2.3.1. Conjunto Disyunto.

Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.

ejemplo:

El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3.

El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d.

No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B.

En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.

En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.

2.3.2. Conjunto subconjunto

Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.

Si se tienen los siguientes conjuntos:

P = {a, e, i, o, u} y R = {a, i}

R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.

En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo

. En este ejemplo se escribe:

R P

Se lee “R es subconjunto de P”

No es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“es

Si se tienen los siguientes conjuntos:

C = {3, 5, 7, 9} y H = {3, 5, 8}

H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe:

H C

Se lee “H no es subconjunto de C”

También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn.

Ejemplo:

2.4. CLASES DE CONJUNTOS

Según el número de elementos que conforman un conjunto, éstos se clasifican en:

2.4.1.Universal o referencia

2.4.2.Vacío.

2.4.3.Unitario.

2.4.4.Finito.

2.4.5.Infinito.

2.4.1. Conjunto universal o referencia

El conjunto universal o referencia, es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos.

Para representar que un conjunto es universal se utiliza la vocal U mayúscula.

Ejemplo:

El conjunto formado por las letras del abecedario.

U = {letras del abecedario}

Gráficamente:

2.4.2. Conjunto vació

El conjunto vacío es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.

PROPIEDADES

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades generales:

El conjunto vacío es único: dado dos conjuntos sin elementos, ambos son iguales. (Esto justifica hablar de "el conjunto vacío" y no de "un conjunto vacío").

El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo:

$A \subseteq \varnothing \; \text{ solo si } \; A = \varnothing$

El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito :

$| \varnothing | = 0$

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como "ser mortal" o "ser un número primo"). Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir "todo hombre en Ø; es inmortal" es lo mismo que afirmar que "no hay ningún hombre mortal en Ø", y esto último es trivialmente cierto.

Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A:

$\varnothing \subseteq A$

Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A:

$A \cup \varnothing = A$

Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío:

$A \cap \varnothing = \varnothing$

Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:

$A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$

2.4.3. Conjunto unitario

En la teoría de conjuntos se define como conjunto unitario a aquel que está formado por un solo elemento.

Ejemplo:

A = { x } El conjunto A tiene un solo elemento que es: x

2.4.4.Conjunto finito:

Si al contar el numero de elementos que tiene el conjunto el conteo termina, se dice que el conjunto es finito.

Ejemplo: M = {x / x es un río de la tierra} Conjunto finito

2.4.5. Conjunto infinito: Si al contar el numero de elementos que tiene el conjunto el conteo no termina, se dice que el conjunto es infinito.
Ejemplo: A= {Las estrellas del universo}

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} Conjunto infinito

V = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ,...} Conjunto infinito

ACTIVIDAD 3
"DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Y RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS"

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REFERENTES CONCEPTUALES

http://www.ejemplode.com/5-matematicas/2732-ejemplo_de_conjunto_unitario.html
http://misdeberes.es/tarea/39605

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos